微积分学示例

$y = \frac{x^{2}}{5 x^{6} - 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 5 x^{6} - 1$ 。

$\frac{(5 x^{6} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(5 x^{6} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $5 x^{6} - 1$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (5 x^{6} - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $5 x^{6} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (5 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5} + 0)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $30 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5})}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

将 $30$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{2} x^{5}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 3.1

移动 $x^{5}$ 。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 (x^{5} x^{2})}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{5 + 2}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{(2 (5 x^{6}) + 2 \cdot - 1) x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{2 (5 x^{6}) x + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (5 (x \cdot x^{6})) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (5 (x^{1} x^{6})) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (5 x^{1 + 6}) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.1.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\frac{2 (5 x^{7}) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10 x^{7} + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{10 x^{7} - 2 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

从 $10 x^{7}$ 中减去 $30 x^{7}$ 。

$\frac{- 20 x^{7} - 2 x}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

从 $- 20 x^{7} - 2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 4.4.1

从 $- 20 x^{7}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- 10 x^{6}) - 2 x}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- 10 x^{6}) + 2 x (- 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.3

从 $2 x (- 10 x^{6}) + 2 x (- 1)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- 10 x^{6} - 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5

从 $- 10 x^{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x (- (10 x^{6}) - 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.6

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{2 x (- (10 x^{6}) - 1 (1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7

从 $- (10 x^{6}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x (- (10 x^{6} + 1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8

将 $- (10 x^{6} + 1)$ 重写为 $- 1 (10 x^{6} + 1)$ 。

$\frac{2 x (- 1 (10 x^{6} + 1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(2 x) (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.10

将 $- \frac{(2 x) (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{2 x (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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