微积分学示例

$y = {\sin (x)}^{\tan (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 ${\sin (x)}^{\tan (x)}$ 重写为 $e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $\tan (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \tan (x) \ln (\sin (x))$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (x) \ln (\sin (x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\sin (x))]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\sin (x))]$

解题步骤 2.3

使用 $\tan (x) \ln (\sin (x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\sin (x))]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = \ln (\sin (x))$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 4.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 7

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \sec^{2} (x))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \csc (x) \cos (x)) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\ln (\sin (x)) \sec^{2} (x))$

解题步骤 8.2

去掉圆括号。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \tan (x) \csc (x) \cos (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x)) \sec^{2} (x)$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4

化简每一项。

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解题步骤 8.4.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.2

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $\ln (\sin (x))$ 。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \csc (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.3

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.4

乘以 $e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 8.4.4.1

组合 $\frac{1}{\sin (x)}$ 和 $e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}$ 。

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\sin (x)} \cos (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.4.2

组合 $\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x)}{\sin (x)} \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.5

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.6

合并。

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cos (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.7

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.7.1

约去公因数。

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cos (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.7.2

重写表达式。

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \sin (x)}{\sin (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.8

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.8.1

约去公因数。

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \sin (x)}{\sin (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.8.2

用 $e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}$ 除以 $1$ 。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.9

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.10

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $\ln (\sin (x))$ 。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.11

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.12

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.13

一的任意次幂都为一。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.14

组合 $e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\cos^{2} (x)} \ln (\sin (x))$

解题步骤 8.4.15

组合 $\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\ln (\sin (x))$ 。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.5

化简每一项。

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解题步骤 8.5.1

分离分数。

$e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.5.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.5.3

用 $\ln (\sin (x))$ 除以 $1$ 。

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.5.4

化简分子。

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解题步骤 8.5.4.1

分离分数。

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.5.4.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \tan (x)} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.5.4.3

用 $\ln (\sin (x))$ 除以 $1$ 。

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

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