微积分学示例

$y = \ln ({(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

解题步骤 1.3

使用 ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{9}{7}}$ 且 $g (x) = 3 x^{4} + 5 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x^{4} + 5 x$ 。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{9}{7}}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{9}{7}$ 。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {u_{2}}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

解题步骤 2.3

使用 $3 x^{4} + 5 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

解题步骤 6.2

从 $9$ 中减去 $7$ 。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

解题步骤 7

组合 $\frac{9}{7}$ 和 ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ 。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

解题步骤 8

将 $\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7}$ 乘以 $\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}}$ 。

$\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ 移动到分母。

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

解题步骤 10

化简分母。

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解题步骤 10.1

通过指数相加将 ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ 乘以 ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ 。

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解题步骤 10.1.1

移动 ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ 。

$\frac{9}{7 ({(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

解题步骤 10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7} + \frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

解题步骤 10.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{- 2 + 9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

解题步骤 10.1.4

将 $- 2$ 和 $9$ 相加。

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{7}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

解题步骤 10.1.5

用 $7$ 除以 $7$ 。

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

解题步骤 10.2

化简 $7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}$ 。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

解题步骤 11

根据加法法则， $3 x^{4} + 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 12

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 14

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 15

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \cdot 1)$

解题步骤 17

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5)$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

运用分配律。

$\frac{9}{7 (3 x^{4}) + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

解题步骤 18.2

合并项。

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解题步骤 18.2.1

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{9}{21 x^{4} + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

解题步骤 18.2.2

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$

解题步骤 18.3

重新排序 $\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$ 的因式。

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{21 x^{4} + 35 x}$

解题步骤 18.4

从 $21 x^{4} + 35 x$ 中分解出因数 $7 x$ 。

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解题步骤 18.4.1

从 $21 x^{4}$ 中分解出因数 $7 x$ 。

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 35 x}$

解题步骤 18.4.2

从 $35 x$ 中分解出因数 $7 x$ 。

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)}$

解题步骤 18.4.3

从 $7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)$ 中分解出因数 $7 x$ 。

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

解题步骤 18.5

将 $12 x^{3} + 5$ 乘以 $\frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$ 。

$\frac{(12 x^{3} + 5) \cdot 9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

解题步骤 18.6

将 $9$ 移到 $12 x^{3} + 5$ 的左侧。

$\frac{9 (12 x^{3} + 5)}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

微积分学 示例

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