微积分学示例

$y = 400 (15 - x^{2}) (3 x - 2)$

解题步骤 1

因为 $400$ 对于 $x$ 是常数，所以 $400 (15 - x^{2}) (3 x - 2)$ 对 $x$ 的导数是 $400 \frac{d}{d x} [(15 - x^{2}) (3 x - 2)]$ 。

$400 \frac{d}{d x} [(15 - x^{2}) (3 x - 2)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 15 - x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x - 2$ 。

$400 ((15 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$400 ((15 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$400 ((15 - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$400 ((15 - x^{2}) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$400 ((15 - x^{2}) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

解题步骤 3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$400 ((15 - x^{2}) (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$400 ((15 - x^{2}) \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

解题步骤 3.6.2

将 $3$ 移到 $15 - x^{2}$ 的左侧。

$400 (3 \cdot (15 - x^{2}) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $15 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

解题步骤 3.8

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

解题步骤 3.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (- (2 x)))$

解题步骤 3.12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (- 2 x))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$400 (3 \cdot 15 + 3 (- x^{2}) + (3 x - 2) (- 2 x))$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$400 (3 \cdot 15 + 3 (- x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 2 (- 2 x))$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$400 (3 \cdot 15) + 400 (3 (- x^{2})) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 4.4

合并项。

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解题步骤 4.4.1

将 $3$ 乘以 $15$ 。

$400 \cdot 45 + 400 (3 (- x^{2})) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 4.4.2

将 $400$ 乘以 $45$ 。

$18000 + 400 (3 (- x^{2})) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 4.4.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$18000 + 400 (- 3 x^{2}) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 4.4.4

将 $- 3$ 乘以 $400$ 。

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 4.4.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 x \cdot x) + 400 (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 4.4.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 (x^{1} x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 4.4.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 (x^{1} x^{1})) + 400 (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 4.4.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 x^{1 + 1}) + 400 (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 4.4.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 x^{2}) + 400 (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 4.4.10

将 $- 6$ 乘以 $400$ 。

$18000 - 1200 x^{2} - 2400 x^{2} + 400 (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 4.4.11

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$18000 - 1200 x^{2} - 2400 x^{2} + 400 (4 x)$

解题步骤 4.4.12

将 $4$ 乘以 $400$ 。

$18000 - 1200 x^{2} - 2400 x^{2} + 1600 x$

解题步骤 4.4.13

从 $- 1200 x^{2}$ 中减去 $2400 x^{2}$ 。

$18000 - 3600 x^{2} + 1600 x$

解题步骤 4.5

重新排序项。

$- 3600 x^{2} + 1600 x + 18000$

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