微积分学示例

$h (x) = 7 x^{2} (6 x + 5^{2})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 7 x^{2}$ 且 $g (x) = 6 x + 5^{2}$ 。

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 5^{2}] + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

解题步骤 2

使用求加法法则求导。

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解题步骤 2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 25] + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $6 x + 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$7 x^{2} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 x^{2} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 x^{2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

解题步骤 3.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$7 x^{2} (6 + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$7 x^{2} (6 + 0) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

解题步骤 4.2

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

解题步骤 4.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (7 (2 x))$

解题步骤 4.5

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (14 x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$7 x^{2} \cdot 6 + 6 x (14 x) + 5^{2} (14 x)$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$42 x^{2} + 6 x (14 x) + 5^{2} (14 x)$

解题步骤 5.2.2

将 $14$ 乘以 $6$ 。

$42 x^{2} + 84 x \cdot x + 5^{2} (14 x)$

解题步骤 5.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$42 x^{2} + 84 (x^{1} x) + 5^{2} (14 x)$

解题步骤 5.2.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$42 x^{2} + 84 (x^{1} x^{1}) + 5^{2} (14 x)$

解题步骤 5.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$42 x^{2} + 84 x^{1 + 1} + 5^{2} (14 x)$

解题步骤 5.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 5^{2} (14 x)$

解题步骤 5.2.7

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 25 (14 x)$

解题步骤 5.2.8

将 $14$ 乘以 $25$ 。

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 350 x$

解题步骤 5.2.9

将 $42 x^{2}$ 和 $84 x^{2}$ 相加。

$126 x^{2} + 350 x$

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