微积分学示例

$\frac{2 x (150 - 25 x)}{30}$

解题步骤 1

约去 $2$ 和 $30$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

从 $2 x (150 - 25 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x (150 - 25 x))}{30}]$

解题步骤 1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $30$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x (150 - 25 x))}{2 \cdot 15}]$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x (150 - 25 x))}{2 \cdot 15}]$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (150 - 25 x)}{15}]$

解题步骤 2

约去 $150 - 25 x$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 2.1

从 $x (150 - 25 x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{5 (x (30 - 5 x))}{15}]$

解题步骤 2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{5 (x (30 - 5 x))}{5 (3)}]$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{5 (x (30 - 5 x))}{5 \cdot 3}]$

解题步骤 2.2.3

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (30 - 5 x)}{3}]$

解题步骤 3

从 $30 - 5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 3.1

从 $30$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 (6) - 5 x)}{3}]$

解题步骤 3.2

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 (6) + 5 (- x))}{3}]$

解题步骤 3.3

从 $5 (6) + 5 (- x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 (6 - x))}{3}]$

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 5 (6 - x)}{3}]$

解题步骤 4

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x (6 - x)}{3}]$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{5}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5 x (6 - x)}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x (6 - x)]$ 。

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x (6 - x)]$

解题步骤 5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 6 - x$ 。

$\frac{5}{3} (x \frac{d}{d x} [6 - x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $6 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{5}{3} (x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5}{3} (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{5}{3} (x \frac{d}{d x} [- x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{5}{3} (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5}{3} (x (- 1 \cdot 1) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.6

化简表达式。

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解题步骤 6.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{3} (x \cdot - 1 + (6 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.6.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{5}{3} (- 1 \cdot x + (6 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.6.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{5}{3} (- x + (6 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5}{3} (- x + (6 - x) \cdot 1)$

解题步骤 6.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 6.8.1

将 $6 - x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{3} (- x + 6 - x)$

解题步骤 6.8.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{5}{3} (- 2 x + 6)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{5}{3} (- 2 x) + \frac{5}{3} \cdot 6$

解题步骤 7.2

合并项。

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解题步骤 7.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{5}{3}$ 。

$\frac{- 2 \cdot 5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot 6$

解题步骤 7.2.2

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 10}{3} x + \frac{5}{3} \cdot 6$

解题步骤 7.2.3

组合 $\frac{- 10}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 10 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot 6$

解题步骤 7.2.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot 6$

解题步骤 7.2.5

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $6$ 。

$- \frac{10 x}{3} + \frac{5 \cdot 6}{3}$

解题步骤 7.2.6

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{10 x}{3} + \frac{30}{3}$

解题步骤 7.2.7

约去 $30$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.7.1

从 $30$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{10 x}{3} + \frac{3 \cdot 10}{3}$

解题步骤 7.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{10 x}{3} + \frac{3 \cdot 10}{3 (1)}$

解题步骤 7.2.7.2.2

约去公因数。

$- \frac{10 x}{3} + \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.7.2.3

重写表达式。

$- \frac{10 x}{3} + \frac{10}{1}$

解题步骤 7.2.7.2.4

用 $10$ 除以 $1$ 。

$- \frac{10 x}{3} + 10$

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