微积分学示例

$x^{\frac{2}{3}} {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 6 - x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 - x$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.3

使用 $6 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(6 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{{(6 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(6 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 7.4

组合 $\frac{1}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [6 - x] + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 8

根据加法法则， $6 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 9

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 13

合并分数。

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解题步骤 13.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 13.2

组合 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 13.3

化简表达式。

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解题步骤 13.3.1

将 $- 1$ 移到 $x^{\frac{2}{3}}$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 13.3.2

将 $- 1 x^{\frac{2}{3}}$ 重写为 $- x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{- x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 13.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

解题步骤 15

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 16

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 17

在公分母上合并分子。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 18

化简分子。

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解题步骤 18.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

解题步骤 18.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

解题步骤 19

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

解题步骤 20

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 21

组合 ${(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

解题步骤 22

化简表达式。

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解题步骤 22.1

将 $2$ 移到 ${(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \cdot {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 22.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 23

要将 $- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 24

要将 $\frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 25

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ 的形式。

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解题步骤 25.1

将 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 25.2

将 $\frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 25.3

重新排序 $3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ 的因式。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 26

在公分母上合并分子。

$\frac{- x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 27

通过指数相加将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 27.1

移动 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{- (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 27.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 27.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- x^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 27.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- x^{\frac{3}{3}} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 27.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{- x^{1} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 28

化简 $- x^{1}$ 。

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 29

通过指数相加将 ${(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(6 - x)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 29.1

移动 ${(6 - x)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{- x + 2 ({(6 - x)}^{\frac{2}{3}} {(6 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 29.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 29.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 29.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 29.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{1}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 30

化简 $2 {(6 - x)}^{1}$ 。

$\frac{- x + 2 (6 - x)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 31

化简。

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解题步骤 31.1

运用分配律。

$\frac{- x + 2 \cdot 6 + 2 (- x)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 31.2

化简分子。

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解题步骤 31.2.1

化简每一项。

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解题步骤 31.2.1.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- x + 12 + 2 (- x)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 31.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- x + 12 - 2 x}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 31.2.2

从 $- x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{- 3 x + 12}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 31.3

合并项。

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解题步骤 31.3.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x) + 12}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 31.3.2

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x) + 3 \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 31.3.3

从 $3 (- x) + 3 (4)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x + 4)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 31.3.4

约去公因数。

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解题步骤 31.3.4.1

从 $3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x + 4)}{3 (x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 31.3.4.2

约去公因数。

$\frac{3 (- x + 4)}{3 (x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 31.3.4.3

重写表达式。

$\frac{- x + 4}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 31.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x) + 4}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 31.5

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$\frac{- (x) - 1 (- 4)}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 31.6

从 $- (x) - 1 (- 4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x - 4)}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 31.7

将 $- (x - 4)$ 重写为 $- 1 (x - 4)$ 。

$\frac{- 1 (x - 4)}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 31.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x - 4}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

微积分学 示例

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