微积分学示例

$\sin^{3} (x) \cos (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin^{3} (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

解题步骤 2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

解题步骤 3

通过指数相加将 $\sin^{3} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

移动 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

解题步骤 3.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{3} (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

解题步骤 3.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

解题步骤 4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $- 1$ 移到 $\sin^{4} (x)$ 的左侧。

$- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

解题步骤 4.2

将 $- 1 \sin^{4} (x)$ 重写为 $- \sin^{4} (x)$ 。

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 6

将 $3$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$- \sin^{4} (x) + 3 \cdot \cos (x) \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 7

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- \sin^{4} (x) + 3 \cos (x) \sin^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin^{4} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin^{2} (x)$

解题步骤 9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin^{4} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin^{2} (x)$

解题步骤 10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sin^{4} (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin^{2} (x)$

解题步骤 11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sin^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

解题步骤 12

重新排序项。

$3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

微积分学 示例

微积分学示例