微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{13}}}$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x^{13}}}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6} \sqrt{x}}]$ 。

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解题步骤 1.1

将 $x^{13}$ 重写为 ${(x^{6})}^{2} x$ 。

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解题步骤 1.1.1

因式分解出 $x^{12}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x^{12} x}}]$

解题步骤 1.1.2

将 $x^{12}$ 重写为 ${(x^{6})}^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{{(x^{6})}^{2} x}}]$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6} \sqrt{x}}]$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6} x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6 + \frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3.2

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3.3

组合 $6$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{12 + 1}{2}}}]$

解题步骤 3.5.2

将 $12$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{13}{2}}}]$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{13}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{13}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{13}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{\frac{13}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{13}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 4.2.2

乘以 $\frac{13}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

组合 $\frac{13}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{13 \cdot - 1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2.2

将 $13$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 13}{2}}]$

解题步骤 4.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{13}{2}}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{13}{2}$ 。

$- \frac{13}{2} x^{- \frac{13}{2} - 1}$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{13}{2} x^{- \frac{13}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{13}{2} x^{- \frac{13}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$- \frac{13}{2} x^{\frac{- 13 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{13}{2} x^{\frac{- 13 - 2}{2}}$

解题步骤 9.2

从 $- 13$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{13}{2} x^{\frac{- 15}{2}}$

解题步骤 10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{13}{2} x^{- \frac{15}{2}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{15}{2}}}$

解题步骤 11.2

合并项。

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解题步骤 11.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{15}{2}}}$ 乘以 $\frac{13}{2}$ 。

$- \frac{13}{x^{\frac{15}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 11.2.2

将 $2$ 移到 $x^{\frac{15}{2}}$ 的左侧。

$- \frac{13}{2 x^{\frac{15}{2}}}$

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