微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x$

解题步骤 1

相乘以使分子有理化。

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用 FOIL（先外后内）展开分子。

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

解题步骤 2.2.2

将 $2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + x}$

解题步骤 3.1.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 3.1.1.3

重写多项式。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + x}$

解题步骤 3.1.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + x}$

解题步骤 3.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x + 1 + x}$

解题步骤 3.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

解题步骤 3.2.2

约去 $2 x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

解题步骤 3.2.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} 1$

解题步骤 4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$1$

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