微积分学示例

$f (x) = x e^{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

解题步骤 1.3.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x e^{x} + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 2.2.4

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

解题步骤 2.4.3

将 $e^{x} x + 2 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x e^{x} + 2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f''' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

解题步骤 3.2.4

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $e^{x}$ 和 $2 e^{x}$ 相加。

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

解题步骤 3.4.2

重新排序项。

$f''' (x) = e^{x} x + 3 e^{x}$

解题步骤 3.4.3

将 $e^{x} x + 3 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x e^{x} + 3 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f^{4} (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

解题步骤 4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

解题步骤 4.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

解题步骤 4.2.4

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 4.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + 3 e^{x}$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

将 $e^{x}$ 和 $3 e^{x}$ 相加。

$f^{4} (x) = x e^{x} + 4 e^{x}$

解题步骤 4.4.2

重新排序项。

$f^{4} (x) = e^{x} x + 4 e^{x}$

解题步骤 4.4.3

将 $e^{x} x + 4 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$f^{4} (x) = x e^{x} + 4 e^{x}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $x e^{x} + 4 e^{x}$ 。

$x e^{x} + 4 e^{x}$

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