微积分学示例

$y = e^{- x} + e^{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $e^{- x} + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 1.2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 1.2.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 1.2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 1.2.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f' (x) = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 1.2.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f' (x) = - e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = - e^{- x} + e^{x}$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $e^{x} - e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 2.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

解题步骤 2.3.7

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

解题步骤 2.3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

解题步骤 2.3.9

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

解题步骤 3

求三阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $e^{x} + e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 3.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f''' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 3.3.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 3.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 3.3.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f''' (x) = e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

解题步骤 3.3.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f''' (x) = e^{x} - e^{- x}$

解题步骤 4

求四阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

根据加法法则， $e^{x} - e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f^{4} (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$f^{4} (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$f^{4} (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 4.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 4.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f^{4} (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

解题步骤 4.3.7

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$

解题步骤 4.3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

解题步骤 4.3.9

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$

微积分学 示例

微积分学示例