微积分学示例

$\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x$

解题步骤 1

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \ln (u) d u$

解题步骤 2

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = \ln (u)$ ， $dv = 1$ 。

$\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $u$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

解题步骤 3.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\ln (u) u - \int d u$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\ln (u) u - (u + C)$

解题步骤 5

化简。

$\ln (u) u - u + C$

解题步骤 6

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (\ln (x)) \ln (x) - \ln (x) + C$

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