微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} e^{\tan (x)} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2

使 $u = \tan (x)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

设 $u = \tan (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

对 $\tan (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = \tan (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \tan (0)$

解题步骤 2.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = \tan (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.5

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{1} e^{u} d u$

解题步骤 3

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{u}]_{0}^{1}$

解题步骤 4

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

计算 $e^{u}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(e^{1}) - e^{0}$

解题步骤 4.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

化简。

$e - e^{0}$

解题步骤 4.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$e - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e - 1$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e - 1$

小数形式：

$1.71828182 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例