微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

将 $e^{2 y}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int_{0}^{1} y {(e^{2 y})}^{- 1} d y$

解题步骤 1.2

将 ${(e^{2 y})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0}^{1} y e^{2 y \cdot - 1} d y$

解题步骤 1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\int_{0}^{1} y e^{- 2 y} d y$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = y$ ， $d v = e^{- 2 y}$ 。

$y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $e^{- 2 y}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y (- \frac{e^{- 2 y}}{2})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

解题步骤 3.2

组合 $y$ 和 $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ 。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

解题步骤 4

由于 $- \frac{1}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y$

解题步骤 6

使 $u = - 2 y$ 。然后使 $d u = - 2 d y$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = - 2 y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 2 y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

解题步骤 6.1.2

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u = - 2 y$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

解题步骤 6.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u = - 2 y$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

解题步骤 6.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = - 2$

解题步骤 6.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

解题步骤 6.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 7.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

解题步骤 11

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

解题步骤 12

代入并化简。

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解题步骤 12.1

计算 $- \frac{y e^{- 2 y}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

解题步骤 12.2

计算 $e^{u}$ 在 $- 2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 12.3

化简。

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解题步骤 12.3.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1 e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 12.3.2

将 $e^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 12.3.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- 2}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 12.3.4

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 12.3.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 12.3.6

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 12.3.7

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.7.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 12.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 12.3.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 12.3.7.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 12.3.7.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 12.3.7.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + 0 - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 12.3.8

将 $- \frac{1}{2 e^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 12.3.9

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 12.3.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$

解题步骤 12.3.11

要将 $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$

解题步骤 12.3.12

组合 $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ 和 $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

解题步骤 12.3.13

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

解题步骤 12.3.14

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 1 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

解题步骤 12.3.15

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{- 1 + \frac{- 2}{4} (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

解题步骤 12.3.16

组合 $e^{2}$ 和 $\frac{- 2}{4}$ 。

$\frac{- 1 + \frac{e^{2} \cdot - 2}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

解题步骤 12.3.17

将 $- 2$ 移到 $e^{2}$ 的左侧。

$\frac{- 1 + \frac{- 2 \cdot e^{2}}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

解题步骤 12.3.18

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.18.1

从 $- 2 e^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

解题步骤 12.3.18.2

约去公因数。

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解题步骤 12.3.18.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 (2)} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

解题步骤 12.3.18.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 \cdot 2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

解题步骤 12.3.18.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1 + \frac{- e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

解题步骤 12.3.19

将负号移到分数的前面。

$\frac{- 1 - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

解题步骤 13.2

从 $- \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

解题步骤 13.3

从 $- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

解题步骤 13.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} e^{- 2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

解题步骤 14.2

乘以 $\frac{e^{2}}{2} e^{- 2}$ 。

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解题步骤 14.2.1

组合 $\frac{e^{2}}{2}$ 和 $e^{- 2}$ 。

$- \frac{1 + \frac{e^{2} e^{- 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

解题步骤 14.2.2

通过指数相加将 $e^{2}$ 乘以 $e^{- 2}$ 。

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解题步骤 14.2.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1 + \frac{e^{2 - 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

解题步骤 14.2.2.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

解题步骤 14.2.3

化简 $e^{0}$ 。

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

解题步骤 14.3

组合 $\frac{e^{2}}{2}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2} \cdot - 1}{2}}{2 e^{2}}$

解题步骤 14.4

将 $- 1$ 移到 $e^{2}$ 的左侧。

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

解题步骤 14.5

将 $- 1 e^{2}$ 重写为 $- e^{2}$ 。

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

解题步骤 14.6

化简分子。

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解题步骤 14.6.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

解题步骤 14.6.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{\frac{2 + 1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

解题步骤 14.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\frac{3}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

解题步骤 14.6.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{\frac{3 - e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

解题步骤 14.7

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}})$

解题步骤 14.8

乘以 $\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ 。

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解题步骤 14.8.1

将 $\frac{3 - e^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 e^{2}}$ 。

$- \frac{3 - e^{2}}{2 (2 e^{2})}$

解题步骤 14.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

小数形式：

$0.14849853 \dots$

解题步骤 16

微积分学 示例

微积分学示例