微积分学示例

$\int_{1}^{8} x^{- \frac{2}{3}} d x$

解题步骤 1

根据幂法则， $x^{- \frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$3 x^{\frac{1}{3}}]_{1}^{8}$

解题步骤 2

代入并化简。

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解题步骤 2.1

计算 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 在 $8$ 处和在 $1$ 处的值。

$(3 \cdot 8^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

约去公因数。

$3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.2.3.2

重写表达式。

$3 \cdot 2^{1} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.2.4

计算指数。

$3 \cdot 2 - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.2.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.2.6

一的任意次幂都为一。

$6 - 3 \cdot 1$

解题步骤 2.2.7

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$6 - 3$

解题步骤 2.2.8

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$3$

解题步骤 3

微积分学 示例