微积分学示例

$\int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1 - x}} d x$

解题步骤 1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{d}{d x} [\int \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x]$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x (1 - x)}$ 重写成 ${(x (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int \frac{1}{{(x (1 - x))}^{\frac{1}{2}}} d x]$

解题步骤 2.2

$\int \frac{1}{{(x (1 - x))}^{\frac{1}{2}}} d x$ 是 $\frac{1}{{(x (1 - x))}^{\frac{1}{2}}}$ 的不定积分，因此，根据定义， $\frac{d}{d x} [\int \frac{1}{{(x (1 - x))}^{\frac{1}{2}}} d x]$ 为 $\frac{1}{{(x (1 - x))}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{{(x (1 - x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.3

对 $x (1 - x)$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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