微积分学示例

$y = x^{3} - 2 x$ , $(2, 4)$

解题步骤 1

求函数的导数。要求与线相切的方程的斜率，请对所需值 $x$ 求导数。

$\frac{d}{d x} (x^{3} - 2 x)$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{3} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 2 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 2$

解题步骤 4

$y$ 的方程的导数也可以表示为 $f' (x)$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 2$

解题步骤 5

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 2$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 2$

解题步骤 6.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (2) = 12 - 2$

解题步骤 7

从 $12$ 中减去 $2$ 。

$f' (2) = 10$

解题步骤 8

点 $(2, 4)$ 处的导数为 $10$ 。

$10$

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