微积分学示例

$f (x) = \ln (\sin^{2} (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin^{2} (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 转换成 $\csc^{2} (x)$ 。

$\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\csc^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4

将 $2$ 移到 $\csc^{2} (x)$ 的左侧。

$2 \cdot \csc^{2} (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序 $2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$2 \csc^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 6.2

添加圆括号。

$2 \csc^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 6.3

将 $2 \csc^{2} (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 重新排序。

$\cos (x) \sin (x) (2 \csc^{2} (x))$

解题步骤 6.4

添加圆括号。

$\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \csc^{2} (x)$

解题步骤 6.5

将 $\cos (x)$ 和 $\sin (x) \cdot 2$ 重新排序。

$\sin (x) \cdot 2 \cos (x) \csc^{2} (x)$

解题步骤 6.6

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \csc^{2} (x)$

解题步骤 6.7

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 x) \csc^{2} (x)$

解题步骤 6.8

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (2 x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 6.9

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\sin (2 x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6.10

一的任意次幂都为一。

$\sin (2 x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6.11

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6.12

使用正弦倍角公式。

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6.13

约去 $\sin (x)$ 和 $\sin^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.13.1

从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6.13.2

约去公因数。

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解题步骤 6.13.2.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

解题步骤 6.13.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

解题步骤 6.13.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.14

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.15

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\frac{2}{1} \cot (x)$

解题步骤 6.16

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \cot (x)$

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