微积分学示例

$f (x) = (x + 1) (2 x - 1)$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int (x + 1) (2 x - 1) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) d x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) d x$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\int x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.4

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$\int 2 \cdot x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.5

将 $x$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int 2 \cdot x \cdot x - 1 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 (x^{1} x) - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 x^{1 + 1} - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 2 x^{2} - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int 2 x^{2} - 1 x + 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int 2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1 d x$

解题步骤 3.12

将 $- 1 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\int 2 x^{2} + x - 1 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + C$

解题步骤 10.2

重新排序项。

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = (x + 1) (2 x - 1)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

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