微积分学示例

$4 t^{3} - \sqrt{t} + 2$

解题步骤 1

根据加法法则， $4 t^{3} - \sqrt{t} + 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [4 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$ 。

$\frac{d}{d t} [4 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [4 t^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 t^{2} + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 t^{2} + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 3.2

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 。

$12 t^{2} - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 3.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$12 t^{2} - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$12 t^{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$12 t^{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 0$

解题步骤 4.2

将 $12 t^{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$12 t^{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

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