微积分学示例

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{4}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 1.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{4}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{4}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{4}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 在 $9$ 处和在 $4$ 处的值。

$(2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1

约去公因数。

$2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.3.2

重写表达式。

$2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.4

计算指数。

$2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.6

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 3.2.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.8.1

约去公因数。

$6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 3.2.8.2

重写表达式。

$6 - 2 \cdot 2^{1}$

解题步骤 3.2.9

计算指数。

$6 - 2 \cdot 2$

解题步骤 3.2.10

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$6 - 4$

解题步骤 3.2.11

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$2$

解题步骤 4

微积分学 示例

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