微积分学示例

$y = \ln (\tan (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\tan (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 4

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 5

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\cot (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序 $\cot (x) \sec^{2} (x)$ 的因式。

$\sec^{2} (x) \cot (x)$

解题步骤 6.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

解题步骤 6.3

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.4

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.5.2

约去公因数。

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.5.3

重写表达式。

$\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 6.6

将 $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 6.7

分离分数。

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 6.8

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

解题步骤 6.9

分离分数。

$\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

解题步骤 6.10

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

解题步骤 6.11

用 $1^{2}$ 除以 $1$ 。

$1^{2} \csc (x) \sec (x)$

解题步骤 6.12

一的任意次幂都为一。

$1 \csc (x) \sec (x)$

解题步骤 6.13

将 $\csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$\csc (x) \sec (x)$

微积分学 示例

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