微积分学示例

$\sin (x) + \cos (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\cos (x) - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- \sin (x) - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$- \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$- \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \cos (x) - - \sin (x)$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \cos (x) + 1 \sin (x)$

解题步骤 3.3.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = - \cos (x) + \sin (x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $- \cos (x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f^{4} (x) = \sin (x) + \cos (x)$

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