微积分学示例

$y = \frac{x^{6}}{1 - x^{5}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = 1 - x^{5}$ 。

$\frac{(1 - x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{(1 - x^{5}) (6 x^{5}) - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $6$ 移到 $1 - x^{5}$ 的左侧。

$\frac{6 \cdot (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $1 - x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 相加。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [- x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2.7

乘。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + 1 x^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2.7.2

将 $x^{6}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{6} (5 x^{4})}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{4} x^{6} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{4 + 6} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{10} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 4

将 $5$ 移到 $x^{10}$ 的左侧。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + 5 \cdot x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{(6 \cdot 1 + 6 (- x^{5})) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{6 \cdot 1 x^{5} + 6 (- x^{5}) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{5}) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

移动 $x^{5}$ 。

$\frac{6 x^{5} + 6 (- (x^{5} x^{5})) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{5 + 5}) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.3

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{10}) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{6 x^{5} - 6 x^{10} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 $- 6 x^{10}$ 和 $5 x^{10}$ 相加。

$\frac{6 x^{5} - x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

解题步骤 5.4

重新排序项。

$\frac{- x^{10} + 6 x^{5}}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5

从 $- x^{10} + 6 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $- x^{10}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (- x^{5}) + 6 x^{5}}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5.2

从 $6 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (- x^{5}) + x^{5} \cdot 6}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5.3

从 $x^{5} (- x^{5}) + x^{5} \cdot 6$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (- x^{5} + 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6

从 $- x^{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{5} (- (x^{5}) + 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.7

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$\frac{x^{5} (- (x^{5}) - 1 (- 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.8

从 $- (x^{5}) - 1 (- 6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{5} (- (x^{5} - 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.9

将 $- (x^{5} - 6)$ 重写为 $- 1 (x^{5} - 6)$ 。

$\frac{x^{5} (- 1 (x^{5} - 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{5} (x^{5} - 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

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