微积分学示例

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

解题步骤 1

将 ${(x - 4)}^{2}$ 重写为 $(x - 4) (x - 4)$ 。

$\frac{d}{d x} [(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

解题步骤 3.1.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

解题步骤 3.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)]$

解题步骤 3.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 8 x + 16$ 且 $g (x) = 4 x - 4$ 。

$(x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [4 x - 4] + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $4 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$(x^{2} - 8 x + 16) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

解题步骤 5.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

解题步骤 5.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

解题步骤 5.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 + 0) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

解题步骤 5.6

化简表达式。

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解题步骤 5.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} - 8 x + 16) \cdot 4 + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

解题步骤 5.6.2

将 $4$ 移到 $x^{2} - 8 x + 16$ 的左侧。

$4 \cdot (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

解题步骤 5.7

根据加法法则， $x^{2} - 8 x + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 5.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 5.9

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 5.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 5.11

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 5.12

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 + 0)$

解题步骤 5.13

将 $2 x - 8$ 和 $0$ 相加。

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + (4 x - 4) (2 x - 8)$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + (4 x - 4) (2 x) + (4 x - 4) \cdot - 8$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + (4 x - 4) \cdot - 8$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

解题步骤 6.5

合并项。

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解题步骤 6.5.1

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{2} - 32 x + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

解题步骤 6.5.2

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

解题步骤 6.5.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x \cdot x - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

解题步骤 6.5.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 (x^{1} x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

解题步骤 6.5.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 (x^{1} x^{1}) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

解题步骤 6.5.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{1 + 1} - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

解题步骤 6.5.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

解题步骤 6.5.8

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

解题步骤 6.5.9

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x - 32 x - 4 \cdot - 8$

解题步骤 6.5.10

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x - 32 x + 32$

解题步骤 6.5.11

从 $- 8 x$ 中减去 $32 x$ 。

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 40 x + 32$

解题步骤 6.5.12

将 $4 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$12 x^{2} - 32 x + 64 - 40 x + 32$

解题步骤 6.5.13

从 $- 32 x$ 中减去 $40 x$ 。

$12 x^{2} - 72 x + 64 + 32$

解题步骤 6.5.14

将 $64$ 和 $32$ 相加。

$12 x^{2} - 72 x + 96$

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