微积分学示例

$\frac{4 x^{3} + 3 x^{2}}{x}$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

从 $4 x^{3} + 3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (4 x) + 3 x^{2}}{x}]$

解题步骤 1.1.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 3}{x}]$

解题步骤 1.1.3

从 $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (4 x + 3)}{x}]$

解题步骤 1.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{2} (4 x + 3)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x (4 x + 3))}{x}]$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x (4 x + 3))}{x^{1}}]$

解题步骤 1.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x (4 x + 3))}{x \cdot 1}]$

解题步骤 1.2.2.3

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x (4 x + 3))}{x \cdot 1}]$

解题步骤 1.2.2.4

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (4 x + 3)}{1}]$

解题步骤 1.2.2.5

用 $x (4 x + 3)$ 除以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [x (4 x + 3)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 4 x + 3$ 。

$x \frac{d}{d x} [4 x + 3] + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$x (4 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$x \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.6.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$4 \cdot x + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x + (4 x + 3) \cdot 1$

解题步骤 3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.8.1

将 $4 x + 3$ 乘以 $1$ 。

$4 x + 4 x + 3$

解题步骤 3.8.2

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$8 x + 3$

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