微积分学示例

$y = \ln (\sec (x) + \tan (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x) + \tan (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sec (x) + \tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\sec (x) + \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 4

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序 $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ 的因式。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 5.3

乘以 $\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ 。

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解题步骤 5.3.1

组合 $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ 和 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ 和 $\tan (x)$ 。

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 5.4

组合 $\sec^{2} (x)$ 和 $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ 。

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 5.6

从 $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 5.6.1

从 $\sec (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 5.6.2

从 $\sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 5.6.3

从 $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

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