微积分学示例

$\ln (\cos (2 x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (2 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\cos (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\sec (2 x)$ 。

$\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\sec (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

解题步骤 4.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序 $\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))$ 的因式。

$- 2 \sec (2 x) \sin (2 x)$

解题步骤 5.2

将 $\sec (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 2 \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

解题步骤 5.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 。

$\frac{- 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

解题步骤 5.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

解题步骤 5.5

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{2}{\cos (2 x)}$ 。

$- \frac{\sin (2 x) \cdot 2}{\cos (2 x)}$

解题步骤 5.6

将 $2$ 移到 $\sin (2 x)$ 的左侧。

$- \frac{2 \cdot \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$

解题步骤 5.7

分离分数。

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})$

解题步骤 5.8

将 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\tan (2 x)$ 。

$- (\frac{2}{1} \tan (2 x))$

解题步骤 5.9

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- (2 \tan (2 x))$

解题步骤 5.10

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \tan (2 x)$

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