微积分学示例

$\int_{0}^{1} x e^{x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x$

解题步骤 2

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $x e^{x}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1})$

解题步骤 3.2

计算 $e^{x}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简。

$1 e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})$

解题步骤 3.3.2

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})$

解题步骤 3.3.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$e + 0 \cdot 1 - ((e^{1}) - e^{0})$

解题步骤 3.3.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$e + 0 - ((e^{1}) - e^{0})$

解题步骤 3.3.5

将 $e$ 和 $0$ 相加。

$e - ((e^{1}) - e^{0})$

解题步骤 3.3.6

化简。

$e - (e - e^{0})$

解题步骤 3.3.7

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$e - (e - 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e - (e - 1)$

$e - (e - 1)$

$e - (e - 1)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$e - e - - 1$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e - e + 1$

$e - e + 1$

解题步骤 4.2

从 $e$ 中减去 $e$ 。

$0 + 1$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

$1$

解题步骤 5

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$