微积分学示例

$\ln (3 e^{(2 x - 5)} {(3 x^{3} + 5)}^{7})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

解题步骤 1.3

使用 $3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} \frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$ 。

$\frac{1}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}])$

解题步骤 2.2

化简项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}}$ 。

$\frac{3}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

解题步骤 2.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

解题步骤 2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{2 x - 5}$ 且 $g (x) = {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} + 5)}^{7}] + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = 3 x^{3} + 5$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x^{3} + 5$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5]) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5]) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

解题步骤 4.3

使用 $3 x^{3} + 5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5]) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $3 x^{3} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

解题步骤 5.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

解题步骤 5.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

解题步骤 5.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (9 x^{2} + 0)) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

解题步骤 5.6

化简表达式。

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解题步骤 5.6.1

将 $9 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (9 x^{2})) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

解题步骤 5.6.2

将 $9$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x - 5$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $2 x - 5$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

解题步骤 6.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

解题步骤 6.3

使用 $2 x - 5$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} (e^{2 x - 5} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

根据加法法则， $2 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

解题步骤 7.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

解题步骤 7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

解题步骤 7.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (2 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

解题步骤 7.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (2 + 0))$

解题步骤 7.6

化简表达式。

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解题步骤 7.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} \cdot 2)$

解题步骤 7.6.2

将 $2$ 移到 ${(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5}$ 的左侧。

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + 2 \cdot ({(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5}))$

解题步骤 7.6.3

重新排序 $\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + 2 {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5})$ 的因式。

$(e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + 2 {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5}) \frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}}$

微积分学 示例

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