微积分学示例

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2})$

解题步骤 1.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2})$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

解题步骤 1.1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ 相加。

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

解题步骤 1.1.2.4

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

解题步骤 1.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

解题步骤 1.1.2.6

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

解题步骤 1.1.2.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 1.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

解题步骤 1.1.2.9

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

$- 20 + 10 x = 0$

解题步骤 2.3

将 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}) = \ln (0)$

解题步骤 2.3.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.3.2.3

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.4

将 $- 20 + 10 x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $- 20 + 10 x$ 设为等于 $0$ 。

$- 20 + 10 x = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $- 20 + 10 x = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上 $20$ 。

$10 x = 20$

解题步骤 2.4.2.2

将 $10 x = 20$ 中的每一项除以 $10$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $10 x = 20$ 中的每一项都除以 $10$ 。

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{20}{10}$

解题步骤 2.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.2.3.1

用 $20$ 除以 $10$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.5

最终解为使 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 $- 20$ 乘以 $2$ 。

$e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e^{1 - 40 + 5 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$e^{1 - 40 + 20}$

解题步骤 4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

从 $1$ 中减去 $40$ 。

$e^{- 39 + 20}$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $- 39$ 和 $20$ 相加。

$e^{- 19}$

解题步骤 4.1.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e^{19}}$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(2, \frac{1}{e^{19}})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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