微积分学示例

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{x}]$

解题步骤 1.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{x}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} x}]$

解题步骤 1.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 2.1

将 $x^{\frac{x}{2}}$ 重写为 $e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}]$

解题步骤 2.2

通过将 $\frac{x}{2}$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\frac{x}{2}})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2} \ln (x)}]$

解题步骤 3

组合 $\frac{x}{2}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x \ln (x)}{2}}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x \ln (x)}{2}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x \ln (x)}{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

解题步骤 4.3

使用 $\frac{x \ln (x)}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

解题步骤 5

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x \ln (x)}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{\frac{x \ln (x)}{2}}$ 。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分。

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解题步骤 8.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

约去公因数。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.2.2

重写表达式。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 8.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

解题步骤 9.2

合并项。

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解题步骤 9.2.1

将 $\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

解题步骤 9.2.2

组合 $\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \ln (x)}{2}$

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