微积分学示例

$lim_{x \to 3} \frac{| x - 3 |}{x - 3}$

解题步骤 1

考虑左极限。

$lim_{x \to 3^{-}} \frac{| x - 3 |}{x - 3}$

解题步骤 2

制作一个表格展示函数 $\frac{| x - 3 |}{x - 3}$ 在 $x$ 从左边趋于 $3$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{| x - 3 |}{x - 3} \\ 2.9 & - 1 \\ 2.99 & - 1 \\ 2.999 & - 1 \end{array}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $3$ 时，函数值趋于 $- 1$ 。因此， $\frac{| x - 3 |}{x - 3}$ 在 $x$ 从左边趋于 $3$ 时的极限为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 4

考虑右极限。

$lim_{x \to 3^{+}} \frac{| x - 3 |}{x - 3}$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $\frac{| x - 3 |}{x - 3}$ 在 $x$ 从右边趋于 $3$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{| x - 3 |}{x - 3} \\ 3.1 & 1 \\ 3.01 & 1 \\ 3.001 & 1 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $3$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $\frac{| x - 3 |}{x - 3}$ 在 $x$ 从右边趋于 $3$ 时的极限为 $1$ 。

$1$

解题步骤 7

因为左极限和右极限不相等，所以极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例