微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 8} (\sqrt{x} + \sqrt[3]{8 x}) + 4}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{8 x} + lim_{x \to 8} 4}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{8 x} + lim_{x \to 8} 4}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 3

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} 8 x} + lim_{x \to 8} 4}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 4

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + \sqrt[3]{8 lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 4}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + \sqrt[3]{8 lim_{x \to 8} x} + 4}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 6

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8} + \sqrt[3]{8 lim_{x \to 8} x} + 4}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 6.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8} + \sqrt[3]{8 \cdot 8} + 4}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (2)} + \sqrt[3]{8 \cdot 8} + 4}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 7.1.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + \sqrt[3]{8 \cdot 8} + 4}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 7.1.2

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt[3]{8 \cdot 8} + 4}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 7.1.3

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt[3]{64} + 4}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 7.1.4

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt[3]{4^{3}} + 4}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 7.1.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\frac{2 \sqrt{2} + 4 + 4}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 7.1.6

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{2} + 8}{\sqrt{4 x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} + 8}{\sqrt{2^{2} x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

解题步骤 7.2.2

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{2} + 8}{2 \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + 4}$

微积分学 示例

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