微积分学示例

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{3^{2} - x^{2}} d x$

解题步骤 1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $x = 3 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 3 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $3 \cos (t)$ 为正数。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

对 $3 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.1.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.2

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.3

从 $- 9 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.4

从 $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.5

使用勾股恒等式。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.6

将 $9 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(3 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

解题步骤 3.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2.3

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 4

由于 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 5

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t)$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $9$ 。

$\frac{9}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{9}{2} (\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} d t + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 10

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 10.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10.2

将下限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot - 0.72972765$

解题步骤 10.3

将 $2$ 乘以 $- 0.72972765$ 。

$u_{lower} = - 1.45945531$

解题步骤 10.4

将上限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 0.3398369$

解题步骤 10.5

将 $2$ 乘以 $0.3398369$ 。

$u_{upper} = 0.67967381$

解题步骤 10.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1.45945531$

$u_{upper} = 0.67967381$

解题步骤 10.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 11

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) d u)$

解题步骤 13

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $t$ 在 $0.3398369$ 处和在 $- 0.72972765$ 处的值。

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

解题步骤 14.2

计算 $\sin (u)$ 在 $0.67967381$ 处和在 $- 1.45945531$ 处的值。

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} ((\sin (0.67967381)) - \sin (- 1.45945531)))$

解题步骤 14.3

将 $0.3398369$ 和 $0.72972765$ 相加。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} (\sin (0.67967381) - \sin (- 1.45945531)))$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

运用分配律。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} \sin (0.67967381) + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

解题步骤 15.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (0.67967381)$ 。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

解题步骤 15.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (- 1.45945531)$ 。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

解题步骤 15.1.4

化简每一项。

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解题步骤 15.1.4.1

计算 $\sin (0.67967381)$ 。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{0.62853936}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

解题步骤 15.1.4.2

用 $0.62853936$ 除以 $2$ 。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

解题步骤 15.1.4.3

计算 $\sin (- 1.45945531)$ 。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{- 0.99380799}{2})$

解题步骤 15.1.4.4

用 $- 0.99380799$ 除以 $2$ 。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - - 0.49690399)$

解题步骤 15.1.4.5

将 $- 1$ 乘以 $- 0.49690399$ 。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 + 0.49690399)$

解题步骤 15.1.5

将 $0.31426968$ 和 $0.49690399$ 相加。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.81117367)$

解题步骤 15.2

将 $1.06956456$ 和 $0.81117367$ 相加。

$\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$

解题步骤 15.3

乘以 $\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$ 。

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解题步骤 15.3.1

组合 $\frac{9}{2}$ 和 $1.88073824$ 。

$\frac{9 \cdot 1.88073824}{2}$

解题步骤 15.3.2

将 $9$ 乘以 $1.88073824$ 。

$\frac{16.92664417}{2}$

解题步骤 15.4

用 $16.92664417$ 除以 $2$ 。

$8.46332208$

解题步骤 16

微积分学 示例

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