微积分学 示例

求出局部极大值与局部极小值 e^(1-20x+5x^2)
解题步骤 1
书写为一个函数。
解题步骤 2
求函数的一阶导数。
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解题步骤 2.1
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
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解题步骤 2.1.1
要使用链式法则,请将 设为
解题步骤 2.1.2
使用指数法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 =
解题步骤 2.1.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 2.2
求微分。
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解题步骤 2.2.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 2.2.2
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 2.2.3
相加。
解题步骤 2.2.4
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.2.5
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.2.6
乘以
解题步骤 2.2.7
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.2.8
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.2.9
乘以
解题步骤 3
求函数的二阶导数。
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解题步骤 3.1
使用乘积法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 3.2
求微分。
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解题步骤 3.2.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 3.2.2
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 3.2.3
相加。
解题步骤 3.2.4
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 3.2.5
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 3.2.6
化简表达式。
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解题步骤 3.2.6.1
乘以
解题步骤 3.2.6.2
移到 的左侧。
解题步骤 3.3
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
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解题步骤 3.3.1
要使用链式法则,请将 设为
解题步骤 3.3.2
使用指数法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 =
解题步骤 3.3.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 3.4
求微分。
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解题步骤 3.4.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 3.4.2
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 3.4.3
相加。
解题步骤 3.4.4
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 3.4.5
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 3.4.6
乘以
解题步骤 3.4.7
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 3.4.8
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 3.4.9
乘以
解题步骤 3.5
进行 次方运算。
解题步骤 3.6
进行 次方运算。
解题步骤 3.7
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 3.8
相加。
解题步骤 3.9
重新排序项。
解题步骤 4
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 5
求一阶导数。
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解题步骤 5.1
求一阶导数。
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解题步骤 5.1.1
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
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解题步骤 5.1.1.1
要使用链式法则,请将 设为
解题步骤 5.1.1.2
使用指数法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 =
解题步骤 5.1.1.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 5.1.2
求微分。
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解题步骤 5.1.2.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 5.1.2.2
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 5.1.2.3
相加。
解题步骤 5.1.2.4
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 5.1.2.5
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 5.1.2.6
乘以
解题步骤 5.1.2.7
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 5.1.2.8
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 5.1.2.9
乘以
解题步骤 5.2
的一阶导数是
解题步骤 6
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 6.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 6.2
如果等式左侧的任一因数等于 ,则整个表达式将等于
解题步骤 6.3
设为等于 并求解
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解题步骤 6.3.1
设为等于
解题步骤 6.3.2
求解
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解题步骤 6.3.2.1
取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。
解题步骤 6.3.2.2
因为 无意义,所以方程无解。
无定义
解题步骤 6.3.2.3
无解
无解
无解
无解
解题步骤 6.4
设为等于 并求解
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解题步骤 6.4.1
设为等于
解题步骤 6.4.2
求解
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解题步骤 6.4.2.1
在等式两边都加上
解题步骤 6.4.2.2
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 6.4.2.2.1
中的每一项都除以
解题步骤 6.4.2.2.2
化简左边。
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解题步骤 6.4.2.2.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 6.4.2.2.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 6.4.2.2.2.1.2
除以
解题步骤 6.4.2.2.3
化简右边。
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解题步骤 6.4.2.2.3.1
除以
解题步骤 6.5
最终解为使 成立的所有值。
解题步骤 7
求使导数无意义的值。
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解题步骤 7.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 8
要计算的驻点。
解题步骤 9
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 10
计算二阶导数。
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解题步骤 10.1
化简每一项。
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解题步骤 10.1.1
化简每一项。
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解题步骤 10.1.1.1
乘以
解题步骤 10.1.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 10.1.1.3
乘以
解题步骤 10.1.2
中减去
解题步骤 10.1.3
相加。
解题步骤 10.1.4
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 10.1.5
乘以
解题步骤 10.1.6
相加。
解题步骤 10.1.7
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 10.1.8
乘以
解题步骤 10.1.9
化简每一项。
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解题步骤 10.1.9.1
乘以
解题步骤 10.1.9.2
进行 次方运算。
解题步骤 10.1.9.3
乘以
解题步骤 10.1.10
中减去
解题步骤 10.1.11
相加。
解题步骤 10.1.12
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 10.1.13
组合
解题步骤 10.2
相加。
解题步骤 11
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 12
时的 y 值。
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解题步骤 12.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 12.2
化简结果。
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解题步骤 12.2.1
化简每一项。
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解题步骤 12.2.1.1
乘以
解题步骤 12.2.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 12.2.1.3
乘以
解题步骤 12.2.2
通过相加和相减进行化简。
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解题步骤 12.2.2.1
中减去
解题步骤 12.2.2.2
相加。
解题步骤 12.2.3
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 12.2.4
最终答案为
解题步骤 13
这些是 的局部极值。
是一个局部最小值
解题步骤 14