微积分学示例

$\frac{x^{2}}{x + 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $x + 1$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x + 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

从 $x^{2} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

从 $x \cdot x + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

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