微积分学 示例

计算积分 (x-6)/(x^2-6x+8) 从 0 到 1 对 x 的积分
解题步骤 1
用部分分式分解写出分数。
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解题步骤 1.1
分解分数并乘以公分母。
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解题步骤 1.1.1
使用 AC 法来对 进行因式分解。
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解题步骤 1.1.1.1
思考一下 这种形式。找出一对整数,其积为 ,且和为 。在本例中,其积即为 ,和为
解题步骤 1.1.1.2
使用这些整数书写分数形式。
解题步骤 1.1.2
对于分母中的每一个因式,使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的,在它的位置 上放置单个变量 。
解题步骤 1.1.3
对于分母中的每一个因式,使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的,在它的位置 上放置单个变量 。
解题步骤 1.1.4
将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中,分母为
解题步骤 1.1.5
约去 的公因数。
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解题步骤 1.1.5.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.5.2
重写表达式。
解题步骤 1.1.6
约去 的公因数。
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解题步骤 1.1.6.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.6.2
除以
解题步骤 1.1.7
化简每一项。
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解题步骤 1.1.7.1
约去 的公因数。
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解题步骤 1.1.7.1.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.7.1.2
除以
解题步骤 1.1.7.2
运用分配律。
解题步骤 1.1.7.3
移到 的左侧。
解题步骤 1.1.7.4
约去 的公因数。
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解题步骤 1.1.7.4.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.7.4.2
除以
解题步骤 1.1.7.5
运用分配律。
解题步骤 1.1.7.6
移到 的左侧。
解题步骤 1.1.8
移动
解题步骤 1.2
为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。
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解题步骤 1.2.1
使方程两边 的系数相等,从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立,等式两边的相应系数必须相等。
解题步骤 1.2.2
使方程两边不含 的各项系数相等,从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立,等式两边的相应系数必须相等。
解题步骤 1.2.3
建立方程组以求部分分式的系数。
解题步骤 1.3
求解方程组。
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解题步骤 1.3.1
中求解
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解题步骤 1.3.1.1
将方程重写为
解题步骤 1.3.1.2
从等式两边同时减去
解题步骤 1.3.2
将每个方程中所有出现的 替换成
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解题步骤 1.3.2.1
使用 替换 中所有出现的 .
解题步骤 1.3.2.2
化简右边。
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解题步骤 1.3.2.2.1
化简
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解题步骤 1.3.2.2.1.1
化简每一项。
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解题步骤 1.3.2.2.1.1.1
运用分配律。
解题步骤 1.3.2.2.1.1.2
乘以
解题步骤 1.3.2.2.1.1.3
乘以
解题步骤 1.3.2.2.1.2
中减去
解题步骤 1.3.3
中求解
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解题步骤 1.3.3.1
将方程重写为
解题步骤 1.3.3.2
将所有不包含 的项移到等式右边。
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解题步骤 1.3.3.2.1
在等式两边都加上
解题步骤 1.3.3.2.2
相加。
解题步骤 1.3.3.3
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 1.3.3.3.1
中的每一项都除以
解题步骤 1.3.3.3.2
化简左边。
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解题步骤 1.3.3.3.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 1.3.3.3.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 1.3.3.3.2.1.2
除以
解题步骤 1.3.3.3.3
化简右边。
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解题步骤 1.3.3.3.3.1
除以
解题步骤 1.3.4
将每个方程中所有出现的 替换成
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解题步骤 1.3.4.1
使用 替换 中所有出现的 .
解题步骤 1.3.4.2
化简右边。
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解题步骤 1.3.4.2.1
化简
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解题步骤 1.3.4.2.1.1
乘以
解题步骤 1.3.4.2.1.2
中减去
解题步骤 1.3.5
列出所有解。
解题步骤 1.4
中的每个部分分式的系数替换为求得的 的值。
解题步骤 1.5
将负号移到分数的前面。
解题步骤 2
将单个积分拆分为多个积分。
解题步骤 3
由于 对于 是常数,所以将 移到积分外。
解题步骤 4
使 。然后使 。使用 进行重写。
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解题步骤 4.1
。求
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解题步骤 4.1.1
求导。
解题步骤 4.1.2
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 4.1.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.1.4
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 4.1.5
相加。
解题步骤 4.2
将下限代入替换 中的
解题步骤 4.3
中减去
解题步骤 4.4
将上限代入替换 中的
解题步骤 4.5
中减去
解题步骤 4.6
求得的 的值将用来计算定积分。
解题步骤 4.7
使用 以及积分的新极限重写该问题。
解题步骤 5
的积分为
解题步骤 6
由于 对于 是常数,所以将 移到积分外。
解题步骤 7
使 。然后使 。使用 进行重写。
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解题步骤 7.1
。求
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解题步骤 7.1.1
求导。
解题步骤 7.1.2
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 7.1.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 7.1.4
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 7.1.5
相加。
解题步骤 7.2
将下限代入替换 中的
解题步骤 7.3
中减去
解题步骤 7.4
将上限代入替换 中的
解题步骤 7.5
中减去
解题步骤 7.6
求得的 的值将用来计算定积分。
解题步骤 7.7
使用 以及积分的新极限重写该问题。
解题步骤 8
的积分为
解题步骤 9
代入并化简。
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解题步骤 9.1
计算 处和在 处的值。
解题步骤 9.2
计算 处和在 处的值。
解题步骤 9.3
去掉圆括号。
解题步骤 10
化简。
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解题步骤 10.1
使用对数的商数性质,即
解题步骤 10.2
使用对数的商数性质,即
解题步骤 11
化简。
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解题步骤 11.1
绝对值就是一个数和零之间的距离。 之间的距离为
解题步骤 11.2
绝对值就是一个数和零之间的距离。 之间的距离为
解题步骤 11.3
绝对值就是一个数和零之间的距离。 之间的距离为
解题步骤 11.4
绝对值就是一个数和零之间的距离。 之间的距离为
解题步骤 12
结果可以多种形式表示。
恰当形式:
小数形式:
解题步骤 13