微积分学示例

$\sin (\arctan (x))$

解题步骤 1

在平面中画出顶点为 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arctan (x))$ 为 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 2

将 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 3.2

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 3.3

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

解题步骤 3.6.5

化简。

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

微积分学 示例

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