微积分学 示例

计算极限值 当 x 趋于 ( 的 4 时 x-2)/(x-4) 的平方根的极限
解题步骤 1
运用洛必达法则。
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解题步骤 1.1
计算分子和分母的极限值。
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解题步骤 1.1.1
取分子和分母极限值。
解题步骤 1.1.2
计算分子的极限值。
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解题步骤 1.1.2.1
计算极限值。
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解题步骤 1.1.2.1.1
趋于 时,利用极限的加法法则来分解极限。
解题步骤 1.1.2.1.2
将极限移入根号内。
解题步骤 1.1.2.1.3
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 1.1.2.2
代入 来计算 的极限值。
解题步骤 1.1.2.3
化简答案。
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解题步骤 1.1.2.3.1
化简每一项。
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解题步骤 1.1.2.3.1.1
重写为
解题步骤 1.1.2.3.1.2
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
解题步骤 1.1.2.3.1.3
乘以
解题步骤 1.1.2.3.2
中减去
解题步骤 1.1.3
计算分母的极限值。
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解题步骤 1.1.3.1
计算极限值。
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解题步骤 1.1.3.1.1
趋于 时,利用极限的加法法则来分解极限。
解题步骤 1.1.3.1.2
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 1.1.3.2
代入 来计算 的极限值。
解题步骤 1.1.3.3
化简答案。
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解题步骤 1.1.3.3.1
乘以
解题步骤 1.1.3.3.2
中减去
解题步骤 1.1.3.3.3
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
解题步骤 1.1.3.4
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
解题步骤 1.1.4
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
解题步骤 1.2
因为 是不定式,所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明,函数的商的极限等于它们导数的商的极限。
解题步骤 1.3
求分子和分母的导数。
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解题步骤 1.3.1
对分子和分母进行求导。
解题步骤 1.3.2
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.3.3
计算
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解题步骤 1.3.3.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 1.3.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.3.3.3
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 1.3.3.4
组合
解题步骤 1.3.3.5
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.3.3.6
化简分子。
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解题步骤 1.3.3.6.1
乘以
解题步骤 1.3.3.6.2
中减去
解题步骤 1.3.3.7
将负号移到分数的前面。
解题步骤 1.3.4
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.3.5
化简。
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解题步骤 1.3.5.1
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 1.3.5.2
合并项。
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解题步骤 1.3.5.2.1
乘以
解题步骤 1.3.5.2.2
相加。
解题步骤 1.3.6
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.3.7
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.3.8
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.3.9
相加。
解题步骤 1.4
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 1.5
重写为
解题步骤 1.6
乘以
解题步骤 2
计算极限值。
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解题步骤 2.1
因为项 对于 为常数,所以将其移动到极限外。
解题步骤 2.2
趋于 时,利用极限的除法定则来分解极限。
解题步骤 2.3
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 2.4
将极限移入根号内。
解题步骤 3
代入 来计算 的极限值。
解题步骤 4
化简答案。
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解题步骤 4.1
化简分母。
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解题步骤 4.1.1
重写为
解题步骤 4.1.2
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
解题步骤 4.2
乘以
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解题步骤 4.2.1
乘以
解题步骤 4.2.2
乘以
解题步骤 5
结果可以多种形式表示。
恰当形式:
小数形式: