微积分学示例

$\int_{1}^{2} x \sin (x^{2}) d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1^{2}$

解题步骤 1.3

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2^{2}$

解题步骤 1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{4} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{\sin (u)}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sin (u) d u$

解题步骤 4

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{1}^{4}$

解题步骤 5

计算 $- \cos (u)$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} (- \cos (4) + \cos (1))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

计算 $\cos (4)$ 。

$\frac{1}{2} (- - 0.65364362 + \cos (1))$

解题步骤 6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 0.65364362$ 。

$\frac{1}{2} (0.65364362 + \cos (1))$

解题步骤 6.1.3

计算 $\cos (1)$ 。

$\frac{1}{2} (0.65364362 + 0.5403023)$

解题步骤 6.2

将 $0.65364362$ 和 $0.5403023$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot 1.19394592$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $1.19394592$ 。

$\frac{1.19394592}{2}$

解题步骤 6.4

用 $1.19394592$ 除以 $2$ 。

$0.59697296$

微积分学 示例

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