微积分学示例

$\int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{5 \sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} \int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2.3

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 2.4.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 3

使 $u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ，以便 $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x^{\frac{1}{2}} + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x^{\frac{1}{2}} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.1.3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.1.3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.1.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.1.3.5

化简分子。

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解题步骤 3.1.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.1.3.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.1.3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0$

解题步骤 3.1.5

化简。

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解题步骤 3.1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

解题步骤 3.1.5.2

合并项。

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解题步骤 3.1.5.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

解题步骤 3.1.5.2.2

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{5} \int 2 u^{2} d u$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} (2 \int u^{2} d u)$

解题步骤 5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{2}{5} \int u^{2} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ 重写为 $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ 。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{2}{5 \cdot 3} u^{3} + C$

解题步骤 7.2.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{15} u^{3} + C$

解题步骤 8

使用 $x^{\frac{1}{2}} + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{15} {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{3} + C$

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