微积分学示例

$\frac{5}{x^{2} + 5}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{x^{2} + 5}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{x^{2} + 5}$ 重写为 ${(x^{2} + 5)}^{- 1}$ 。

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} + 5$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 5$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (- {(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 ({(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 3.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + 0)$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x)$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$- 10 {(x^{2} + 5)}^{- 2} x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 10 \frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ 。

$\frac{- 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

解题步骤 4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

解题步骤 4.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ 。

$- \frac{x \cdot 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.4

将 $10$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{10 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

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