微积分学示例

$\int \sin^{3} (x) d x$

解题步骤 1

因式分解出 $\sin^{2} (x)$ 。

$\int \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

解题步骤 2

使用勾股定理，将 $\sin^{2} (x)$ 重写成 $1 - \cos^{2} (x)$ 的形式。

$\int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

解题步骤 3

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - 1 + u^{2} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$- u + C + \int u^{2} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 7

化简。

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 8

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$

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