微积分学示例

$y = 5 x^{2} e^{3 x}$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2} e^{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{3 x}$ 。

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$5 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$5 (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.3.2

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$5 (x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$5 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15 (x^{2} (e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 e^{3 x} x$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$

解题步骤 5.4

将 $15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$ 中的因式重新排序。

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

微积分学 示例

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