微积分学示例

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 1) e^{- x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2} + 1$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

解题步骤 2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

解题步骤 3

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

解题步骤 4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

解题步骤 7.2

将 $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

解题步骤 8

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 8.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 0$

解题步骤 8.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 8.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 8.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 8.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

解题步骤 10

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $(x^{2} + 1) (- e^{- x})$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

解题步骤 11.2

计算 $x (- e^{- x})$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

解题步骤 11.3

计算 $e^{u}$ 在 $- 1$ 处和在 $0$ 处的值。

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4

化简。

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解题步骤 11.4.1

一的任意次幂都为一。

$(1 + 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 e^{- 1} - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 2 e^{- 1} - (0 + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.9

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 2 e^{- 1} - 1 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.11

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.14

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.15

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.17

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.18

将 $- e^{- 1}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

解题步骤 11.4.19

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

解题步骤 11.4.20

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

解题步骤 12.1.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{- 2}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

解题步骤 12.1.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

解题步骤 12.1.4

化简每一项。

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解题步骤 12.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1))$

解题步骤 12.1.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1))$

解题步骤 12.1.4.3

运用分配律。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1)$

解题步骤 12.1.4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1)$

解题步骤 12.1.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 + \frac{- 1 - 1}{e})$

解题步骤 12.1.6

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 + \frac{- 2}{e})$

解题步骤 12.1.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 - \frac{2}{e})$

解题步骤 12.1.8

运用分配律。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 \cdot 1 + 2 (- \frac{2}{e})$

解题步骤 12.1.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + 2 (- \frac{2}{e})$

解题步骤 12.1.10

乘以 $2 (- \frac{2}{e})$ 。

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解题步骤 12.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 - 2 \frac{2}{e}$

解题步骤 12.1.10.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{e}$ 。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + \frac{- 2 \cdot 2}{e}$

解题步骤 12.1.10.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + \frac{- 4}{e}$

解题步骤 12.1.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 - \frac{4}{e}$

解题步骤 12.2

在公分母上合并分子。

$1 + 2 + \frac{- 2 - 4}{e}$

解题步骤 12.3

从 $- 2$ 中减去 $4$ 。

$1 + 2 + \frac{- 6}{e}$

解题步骤 12.4

将负号移到分数的前面。

$1 + 2 - \frac{6}{e}$

解题步骤 12.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3 - \frac{6}{e}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$3 - \frac{6}{e}$

小数形式：

$0.79272335 \dots$

解题步骤 14

微积分学 示例

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