微积分学示例

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + 7 x$ 。然后使 $d u = 7 d x$ ，以便 $\frac{1}{7} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + 7 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + 7 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [7 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 7 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$0 + 7$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $7$ 相加。

$7$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + 7 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + 7 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 1 + 7$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$u_{upper} = 8$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

解题步骤 2

组合 $\sqrt[3]{u}$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$\int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{7}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7}$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{1}{7} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 在 $8$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{7} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.5

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $16$ 。

$\frac{1}{7} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.6

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$\frac{1}{7} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.7

约去 $48$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.7.1

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{7} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.7.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.8

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

解题步骤 6.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4})$

解题步骤 6.2.10

要将 $12$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{7} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

解题步骤 6.2.11

组合 $12$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{7} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

解题步骤 6.2.12

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

解题步骤 6.2.13

化简分子。

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解题步骤 6.2.13.1

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{48 - 3}{4}$

解题步骤 6.2.13.2

从 $48$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

解题步骤 6.2.14

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{45}{4}$ 。

$\frac{45}{7 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.15

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$\frac{45}{28}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{45}{28}$

小数形式：

$1.60714285 \dots$

带分数形式：

$1 \frac{17}{28}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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