微积分学示例

$f (x) = 3 x^{4} - x^{6}$ , $[- 1, 2]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $3 x^{4} - x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$12 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$12 x^{3} - (6 x^{5})$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$12 x^{3} - 6 x^{5}$

解题步骤 1.1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = - 6 x^{5} + 12 x^{3}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 6 x^{5} + 12 x^{3}$ 。

$- 6 x^{5} + 12 x^{3}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 6 x^{5} + 12 x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 6 x^{5} + 12 x^{3} = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $- 6 x^{5} + 12 x^{3}$ 中分解出因数 $- 6 x^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $- 6 x^{5}$ 中分解出因数 $- 6 x^{3}$ 。

$- 6 x^{3} x^{2} + 12 x^{3} = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从 $12 x^{3}$ 中分解出因数 $- 6 x^{3}$ 。

$- 6 x^{3} x^{2} - 6 x^{3} \cdot - 2 = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $- 6 x^{3} (x^{2}) - 6 x^{3} (- 2)$ 中分解出因数 $- 6 x^{3}$ 。

$- 6 x^{3} (x^{2} - 2) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 1.2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 1.2.4.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 1.2.4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x^{2} - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x^{2} - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 1.2.5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.5.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $- 6 x^{3} (x^{2} - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $3 x^{4} - x^{6}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$3 {(0)}^{4} - {(0)}^{6}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 \cdot 0 - {(0)}^{6}$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 - {(0)}^{6}$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 0$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 1.4.2

在 $x = \sqrt{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $\sqrt{2}$ 替换 $x$ 。

$3 {(\sqrt{2})}^{4} - {(\sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

将 ${\sqrt{2}}^{4}$ 重写为 $2^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - {(\sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - {(\sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$3 \cdot 2^{\frac{4}{2}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.4.2.2

约去公因数。

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.4.2.3

重写表达式。

$3 \cdot 2^{\frac{2}{1}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$3 \cdot 2^{2} - {(\sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \cdot 4 - {(\sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 - {(\sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

将 ${\sqrt{2}}^{6}$ 重写为 $2^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{6}$

解题步骤 1.4.2.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 6}$

解题步骤 1.4.2.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$12 - 2^{\frac{6}{2}}$

解题步骤 1.4.2.2.1.4.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.4.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}}$

解题步骤 1.4.2.2.1.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.4.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}$

解题步骤 1.4.2.2.1.4.4.2.2

约去公因数。

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}$

解题步骤 1.4.2.2.1.4.4.2.3

重写表达式。

$12 - 2^{\frac{3}{1}}$

解题步骤 1.4.2.2.1.4.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$12 - 2^{3}$

解题步骤 1.4.2.2.1.5

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$12 - 1 \cdot 8$

解题步骤 1.4.2.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$12 - 8$

解题步骤 1.4.2.2.2

从 $12$ 中减去 $8$ 。

$4$

解题步骤 1.4.3

在 $x = - \sqrt{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.3.1

代入 $- \sqrt{2}$ 替换 $x$ 。

$3 {(- \sqrt{2})}^{4} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2

化简。

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解题步骤 1.4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.2.1.1

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4}) - {(- \sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$3 (1 {\sqrt{2}}^{4}) - {(- \sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$3 {\sqrt{2}}^{4} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.4

将 ${\sqrt{2}}^{4}$ 重写为 $2^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$3 \cdot 2^{\frac{4}{2}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.4.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.1.4.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.1.4.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.4.4.2.2

约去公因数。

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.4.4.2.3

重写表达式。

$3 \cdot 2^{\frac{2}{1}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.4.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$3 \cdot 2^{2} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \cdot 4 - {(- \sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.6

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 - {(- \sqrt{2})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.7

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$12 - ({(- 1)}^{6} {\sqrt{2}}^{6})$

解题步骤 1.4.3.2.1.8

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{6}$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.1.8.1

移动 ${(- 1)}^{6}$ 。

$12 + {(- 1)}^{6} \cdot - 1 {\sqrt{2}}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.8.2

将 ${(- 1)}^{6}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.1.8.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 + {(- 1)}^{6} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{2}}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 + {(- 1)}^{6 + 1} {\sqrt{2}}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.8.3

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$12 + {(- 1)}^{7} {\sqrt{2}}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.9

对 $- 1$ 进行 $7$ 次方运算。

$12 - {\sqrt{2}}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.10

将 ${\sqrt{2}}^{6}$ 重写为 $2^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.1.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 6}$

解题步骤 1.4.3.2.1.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$12 - 2^{\frac{6}{2}}$

解题步骤 1.4.3.2.1.10.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.1.10.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}}$

解题步骤 1.4.3.2.1.10.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.1.10.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}$

解题步骤 1.4.3.2.1.10.4.2.2

约去公因数。

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}$

解题步骤 1.4.3.2.1.10.4.2.3

重写表达式。

$12 - 2^{\frac{3}{1}}$

解题步骤 1.4.3.2.1.10.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$12 - 2^{3}$

解题步骤 1.4.3.2.1.11

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$12 - 1 \cdot 8$

解题步骤 1.4.3.2.1.12

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$12 - 8$

解题步骤 1.4.3.2.2

从 $12$ 中减去 $8$ 。

$4$

解题步骤 1.4.4

列出所有的点。

$(0, 0), (\sqrt{2}, 4), (- \sqrt{2}, 4)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(0, 0), (\sqrt{2}, 4)$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$3 {(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{6}$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$3 \cdot 1 - {(- 1)}^{6}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 - {(- 1)}^{6}$

解题步骤 3.1.2.1.3

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{6}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{6}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.3.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{6}$

解题步骤 3.1.2.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 + {(- 1)}^{1 + 6}$

解题步骤 3.1.2.1.3.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$3 + {(- 1)}^{7}$

解题步骤 3.1.2.1.4

对 $- 1$ 进行 $7$ 次方运算。

$3 - 1$

解题步骤 3.1.2.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$2$

解题步骤 3.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$3 {(2)}^{4} - {(2)}^{6}$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$3 \cdot 16 - {(2)}^{6}$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$48 - {(2)}^{6}$

解题步骤 3.2.2.1.3

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$48 - 1 \cdot 64$

解题步骤 3.2.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$48 - 64$

解题步骤 3.2.2.2

从 $48$ 中减去 $64$ 。

$- 16$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(- 1, 2), (2, - 16)$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(\sqrt{2}, 4)$

最小绝对值： $(2, - 16)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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