微积分学示例

$f (x) = 9 x^{\frac{2}{3}} - x$ on $0$ , $729$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $9 x^{\frac{2}{3}} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.5

在公分母上合并分子。

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.7

将负号移到分数的前面。

$9 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.8

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$9 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.9

组合 $9$ 和 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{9 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.10

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{18 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{18}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.12

从 $18$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.13

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.13.1

从 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 6}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.13.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2.13.3

重写表达式。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$

解题步骤 1.2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

解题步骤 1.2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2.4

将 $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 以消去分数。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

约去 $x^{\frac{1}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

重写表达式。

$6 = 1 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.3.1

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$6 = x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2.5

求解方程。

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解题步骤 1.2.5.1

将方程重写为 $x^{\frac{1}{3}} = 6$ 。

$x^{\frac{1}{3}} = 6$

解题步骤 1.2.5.2

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

解题步骤 1.2.5.3

化简指数。

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解题步骤 1.2.5.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.5.3.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.5.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

解题步骤 1.2.5.3.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

解题步骤 1.2.5.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 6^{3}$

解题步骤 1.2.5.3.1.1.2

化简。

$x = 6^{3}$

解题步骤 1.2.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.3.2.1

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = 216$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 1.3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{6}{\sqrt[3]{x^{1}}} - 1$

解题步骤 1.3.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{6}{\sqrt[3]{x}} - 1$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{6}{\sqrt[3]{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[3]{x} = 0$

解题步骤 1.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.2

化简。

$x = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $9 x^{\frac{2}{3}} - x$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 216$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $216$ 替换 $x$ 。

$9 {(216)}^{\frac{2}{3}} - (216)$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

将 $216$ 重写为 $6^{3}$ 。

$9 {(6^{3})}^{\frac{2}{3}} - (216)$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 \cdot 6^{3 (\frac{2}{3})} - (216)$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.3.1

约去公因数。

$9 \cdot 6^{3 (\frac{2}{3})} - (216)$

解题步骤 1.4.1.2.1.3.2

重写表达式。

$9 \cdot 6^{2} - (216)$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 \cdot 36 - (216)$

解题步骤 1.4.1.2.1.5

将 $9$ 乘以 $36$ 。

$324 - (216)$

解题步骤 1.4.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $216$ 。

$324 - 216$

解题步骤 1.4.1.2.2

从 $324$ 中减去 $216$ 。

$108$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$9 {(0)}^{\frac{2}{3}} - (0)$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - (0)$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

解题步骤 1.4.2.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

约去公因数。

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

重写表达式。

$9 \cdot 0^{2} - (0)$

解题步骤 1.4.2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.4.2.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$9 \cdot 0 - (0)$

解题步骤 1.4.2.2.3.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$0 - (0)$

解题步骤 1.4.2.2.3.3

从 $0$ 中减去 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(216, 108), (0, 0)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$9 {(0)}^{\frac{2}{3}} - (0)$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - (0)$

解题步骤 2.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

解题步骤 2.1.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

约去公因数。

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

解题步骤 2.1.2.2.2

重写表达式。

$9 \cdot 0^{2} - (0)$

解题步骤 2.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$9 \cdot 0 - (0)$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$0 - (0)$

解题步骤 2.1.2.3.3

从 $0$ 中减去 $0$ 。

$0$

解题步骤 2.2

在 $x = 729$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $729$ 替换 $x$ 。

$9 {(729)}^{\frac{2}{3}} - (729)$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

将 $729$ 重写为 $9^{3}$ 。

$9 {(9^{3})}^{\frac{2}{3}} - (729)$

解题步骤 2.2.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 \cdot 9^{3 (\frac{2}{3})} - (729)$

解题步骤 2.2.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

约去公因数。

$9 \cdot 9^{3 (\frac{2}{3})} - (729)$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

重写表达式。

$9 \cdot 9^{2} - (729)$

解题步骤 2.2.2.1.4

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 \cdot 81 - (729)$

解题步骤 2.2.2.1.5

将 $9$ 乘以 $81$ 。

$729 - (729)$

解题步骤 2.2.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $729$ 。

$729 - 729$

解题步骤 2.2.2.2

从 $729$ 中减去 $729$ 。

$0$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(0, 0), (729, 0)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(216, 108)$

最小绝对值： $(0, 0), (729, 0)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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